银川一中2015届高三年级第五次月考 数 学 试 卷（理） 命题人：吕良俊 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合，，则= . . . . 2．已知是纯虚数,是实数,那么等于 ．2i .i .-i .-2i 3．已知二次函数则“”是“函数在单调递增”的 . 充分条件 . 充分不必要条件 . 必要不充分条件 .既不充分也不必要条件 4．. 28+6 . 30+6 . 56+ 12 . 60+12 5．已知实数，，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为 6函数，的图象可能是下列图象中的 7．设在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围为 . . . . 8，. . . .或 . 9若正四面体的顶点分别在两两垂直的三条射线，，上，则在下列命题中，错误的为 ．； ．直线∥平面； ．直线与所成的角是； ．二面角为 10在平面直角坐标系中，已知向量与关于轴对称，向量，点满足不等式，则的取值范围 .[].[] .[] .[] 11．设抛物线的焦点为，过点（，0）的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比 . . . . 12已知两条直线:和:，与函数的图像从左至右相交于点，与函数的图像从左至右相交于 .记线段和在轴上的投影长度分别为,当变化时，的最小值为 ． . . . 13．已知直线过原点，且点到直线的距离为1，则直线的斜率= ． 14设为锐角，若，则的值为 ． 15 16．对于实数和，定义运算“*”：，设，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是_________________. 6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分12分) 设函数. （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）设函数对任意，有，且当时，，求函数在上的解析式. 18. (本小题满分12分) 已知是等差数列，其前n项和为，是等比数列，且 ，. （Ⅰ）求数列与的通项公式； （Ⅱ）记，，证明:（）. 19．（本小题满分12分）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，∥, ,点在线段上. （I）当点为中点时，求证：∥平面； （II）当平面与平面所成锐二面角 的余弦值为时，求三棱锥的体积. 20.（本小题满分12分） 的焦点在x轴上，其右顶点关于直线的对称点在直线上. （I）求椭圆的方程； （II）过椭圆左焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，交直线于点C. 设O为坐标原点，且求△OAB的面积. 21.（本小题满分12分） 已知函数的图像在点处的切线方程为. （I）求实数的值及函数在区间上的最大值； （II）曲线上存在两点、，使得是以坐标原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在轴上，求实数的取值范围. 22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，是△的外接圆，D是的中点，BD交AC于E． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若，O到AC的距离为1，求⊙O的半径． 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数）， 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为． （Ⅰ）求直线的极坐标方程； （Ⅱ）若直线与曲线相交于、两点，求． 24．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲 已知函数． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）解不等式.
银川一中2015届高三年级第五次月考 数学试卷（理）答案 选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D C B C C A D B B A D 填空题： 13.0或； 14.； 15.；16.. 三、解答题： 17.(本小题满分12分) 【解】（I） ， 函数的最小正周期 （2）当时， 当时， 当时， 在上的解析式为。 18.（本小题满分12分） 19．（本小题满分12分） 解：（1）以直线、、分别为轴、轴、轴建立空间 直角坐标系，则，，，所以. ∴————————2分 又，是平面的一个法向量. ∵ 即 ∴∥平面——————4分 （2）设，则， 又 设，则，即.——6分 设是平面的一个法向量，则 取 得 即 又由题设，是平面的一个法向量，——————8分 ∴ ————10分 即点为中点，此时，，为三棱锥的高， ∴ ————————————12分 20.（本小题满分12分） 解：（1）椭圆的右顶点为（2，0）， 设（2，0）关于直线的对称点为（， 则………………4分 解得 则，所求椭圆方程为--------------------------6分 （2）设A 由 所以…………①，…………② 因为即， 所以……③……………………6分 由①③得 代入②得，，整理得…………8分 所以所以……………………10分 由于对称性，只需求时，△OAB的面积. 此时，所以……12分 21.（本小题满分12分） 当时， 此时在上的最大值为； 当时，在上单调递增，且. 令，则，所以当时， 在上的最大值为； 当时，在上的最大值为. 综上可知，当时，在上的最大值为； 当时，在上的最大值为. (8分) （2），根据条件，的横坐标互为相反数，不妨设 ，，. 若，则， 由是直角得，，即， 即.此时无解； (10分) 若，则. 由于的中点在轴上，且，所以点 不可能在轴上，即. 同理有，即， . 由于函数的值域是，实数的取值 范围是即为所求. 12分 2210分）选修4—1：几何证明选讲 解：（I）证明：∵， ∴，又， ∴△～△，∴， ∴CD=DE·DB； ………………（5分） 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）消去参数得直线的直角坐标方程：---------2分 由代入得 . （ 也可以是：或）---------------------5分 （Ⅱ） 得 -----------------------------7分 设，， 则.---------10分 （若学生化成直角坐标方程求解，按步骤对应给分） 24．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲 解：（1），------------------3分 又当时，， ∴-----------------------------------------------5分 （2）当时，； 当时，； 当时，；-------------------------8分 综合上述，不等式的解集为：.-------------------------10分