成都市2015届高中毕业班第一次诊断性检测 数学试题（文科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，则 （A） （B） （C） （D） 2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是 （A） （B） （C） （D） 3．命题“若，则”的逆命题是 （A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则 4．函数的图象大致为 （A） （B） （C） （D） 5．复数（是虚数单位）的共轭复数为 （A） （B） （C） （D） 6．若关于的方程在区间上有实数根，则实数的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 7．已知，，则的值是 （A） （B） （C） （D） 8．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，则的值为 （A） （B） （C） （D） 9．已知，是两条不同直线，，是两个不同的平面，且，则下列叙述正确的是 （A）若，，则 （B）若，，则 （C）若，，则 （D）若，，则 10．如图，正方体棱长为4，点上，且，分别为棱，的中点，是侧面内动点.则当点运动， 的最小值是 （B） （C） （D） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如右图所示.则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是________． 12．若非零向量，满足，则，的夹角的大小为__________． 13．在中，内角的对边分别为，若，，．则边的长度为__________． 14．已知关于的不等式的解集为，集合．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是__________． 15．已知函数的图象在点（）处的切线，直线交轴，轴于点，且．给出以下结论： ①； ②记函数（），则函数的单调性是先减后增，且最小值为； 时，；时，记数列的项和为，则． 其中，正确的结论有 （写出所有正确结论的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 口袋中装有除编号外其余完全相同的5个小球，编号依次为1,2,3,4,5．现从中同时取出两个球，分别记录下其编号为． （Ⅰ）求“”的概率； （Ⅱ）求“”的概率． 17．（本小题满分12分） 如图，在多面体中，平面，，为正三角形，为的中点，，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求多面体的体积． 的前项和为，且；数列满足，．. （Ⅰ）求数列和的通项公式； （Ⅱ）记，.求数列的前项和． 19．（本小题满分12分） 某大型企业一天中不同时刻的用电量（单位：万千瓦时）关于时间（，单位：小时）的函数近似地满足，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量与时间的大致图象． （Ⅰ）根据图象，求，，，的值； （Ⅱ）若某日的供电量（万千瓦时）与时间（小时）近似满足函数关系式（）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）. 参考数据: （时） 10 11 12 11.5 11.25 11.75 11.625 11.6875 （万千瓦时） 2．25 2.433 2.5 2.48 2.462 2.496 2.490 2.493 （万千瓦时） 5 3.5 2 2.75 3.125 2.375 2.563 2.469 20．（本小题满分13分） 已知椭圆：（）的右焦点为，且过点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设直线与椭圆交于不同两点、，且．若点满足，求的值．，，其中，为自然对数的底数． （Ⅰ）当时，求函数的极小值； （Ⅱ）对，是否存在，使得成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）设，当时，若函数存在三个零点，且，求证： ．
数学（文科）参考答案及评分意见 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分） 1．A； 2．C； 3．D；4．A；5．C；6．B；7．D；8．B；9．C；10．B． 第Ⅱ卷（非选择题，共100分） 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分） 11． 12． 13． 14. 15．①②④ 三、解答题：（本大题共6个小题,共75分） 16．（本小题满分12分） 解：同时取出两个球，得到的编号可能为： ，，， ，， ， …………………………………………………………………………………6分 （Ⅰ）记“”为事件，则 ．……………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）记“”为事件，则 ．…………………………………………………………………… 3分 17．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：作的中点，连结． 在中，，又据题意知，． ∴，∴四边形为平行四边形． ∴，又面，平面． ∴面．………………………6分 （Ⅱ）据题意知，多面体为四棱锥． 作于． ∵平面，平面， ∴平面平面． 又，平面，平面平面， ∴面． ∴在四棱锥中，底面为直角梯形，高． ∴． ∴多面体的体积为．……………………………………………6分 18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵ 当时， 得，（）． ∵当时，，且． ∴数列是以为首项，公比为的等比数列， ∴数列的通项公式为．………………………………………4分 又由题意知，，，即 ∴数列是首项为，公差为的等差数列， ∴数列的通项公式为．……………………………2分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，……………………………………………………1分 ∴ ④ 由④得 …………………1分 ∴…………………………………………………1分 ∴ 即 ∴ ∴数列的前项和………………………………………3分 19.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由图知，．………………………………………………………1分 ，．……………2分 ∴． 又函数过点． 代入，得，又，∴．…………………………………2分 综上，，，，． ………………………………………1分 即． （Ⅱ）令，设，则为该企业的停产时间． 由，，则． 又，则． 又，则． 又，则． 又，则．…4分 ∵． ……………………………………………1分 ∴应该在11．625时停产．……………………………………………………………1分 （也可直接由，，得出；答案在11．625—11．6875之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产） 20.（本小题满分13分） （Ⅰ）由已知得，又． ∴． ∴椭圆的方程为．…………………………………………………4分 （Ⅱ）由得 ① ………………………1分 ∵直线与椭圆交于不同两点、，∴△， 得． 设，，则，是方程①的两根， 则， ． ∴． 又由，得，解之．……………………………3分 据题意知，点为线段的中垂线与直线的交点． 设的中点为，则，， 当时， ∴此时，线段的中垂线方程为，即． 令，得．…………………………………………………………………2分 当时， ∴此时，线段的中垂线方程为，即． 令，得．………………………………………………………………2分 综上所述，的值为或． 21.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）时，． ∴……………………………………………………………………1分 由，解得；由，解得； ∴在上单调递减，上单调递增．…………………………………………2分 ∴．…………………………………………………… 2分 （II）令，其中 由题意，对恒成立， ∵ ∵，∴在二次函数中，， ∴对恒成立 ∴对恒成立， ∴在上单减． ∴，即． 故存在使对恒成立．……………………………………4分 （III），易知为函数的一个零点， ∵，∴，因此据题意知，函数的最大的零点， 下面讨论的零点情况， ∵． 易知函数在上单调递减，在上单调递增． 由题知必有两个零点， ∴，解得， ∴，即．…………………………………………………………3分 ∴．…………………1分 又． ． ． ，得证．……………………………………………………………1分