岳阳县一中湘阴县一中高三月考联考试卷
理科数学
时量：150分钟 分值：150分
命题：岳阳县一中 周军才 审题：岳阳县一中 杨育球
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1、复数（i)在复平面内所对应的点位于 （ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
已知函数的定义域为的定义域为则 （ ）
A．B． C．D．中，若三边长构成公差为4的等差数列，则最长的边长为（ ）
A.15 B. C. D.
4、已知命题，命题，则命题是命题成立的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5、若是等差数列,则下列数列中仍为等差数列的个数有
①， ②， ③， ④， ⑤.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示,则在下列图形中,可以是该几何体的俯视图的图形有
A.①②③⑤ B.②③④⑤ C.①②④⑤ D.①②③④
7、不等式组的解集记为，若则 （ ）
A. B. C. D.
8、设下列关系式成立的是 （ ）
A. B. C. D.
9、已知函数的定义域为 ,值域为，则的值不可能是
A. B. C. D.
10、已知，则的大小关系为 （ ）
A． B． C． D．
填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11、已知终边上的一点，则= ．在内有定义，下列函数：； ； ；中必为奇函数的有 ．
13、如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为1m的正方体中分离出来的.如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛 体积的水.
14、已知两个向量的夹角为且，的中点为点,则的最小值．
上的函数如果满足：对任意,存在常数,都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的界.
已知函数在区间上是以3为界的有界函数，则实数的取值范围是 ．已知数列等差,且数列的前项的和为,且.
求数列,的通项公式
（2） 记,求证:.
已知函数.
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)若方程有唯一解，试求实数的值．
,直线与函数图像相邻两交点的距离为.
（1）求的值；
（2）在中，角所对的边分别是，若点是函数图像的一个对称中心，且=3，求面积的最大值.
19、（本小题满分13分）
等差数列的前项和，数列满足．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：
①； ②；
③；④；
⑤；⑥．
（1）求数列的通项公式，并从上述六个等式中选择一个，求实数的值；
（2）根据（1）计算结果，将同学甲的发现推广为关于任意角的三角恒等式，并证明你的结论．
20、（本小题满分13分）
已知由非负整数组成的数列满足下列两个条件：
①，，②…
（1）求；
（2）证明…；
（3）求的通项公式及其前项和.
21、（本小题满分13分）
已知函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求函数的最大值的表达式.
岳阳县一中湘阴县一中高三月考联考试卷
理科数学
时量：150分钟 分值：150分
命题：岳阳县一中 周军才 审题：岳阳县一中 杨育球
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1、复数（i)在复平面内所对应的点位于 （ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
对应点坐标为
答案：C
2、已知函数的定义域为的定义域为则 （ ）
A．B． C．D．
所以，故
答案：A
3、在中，若三边长构成公差为4的等差数列，则最长的边长为（ ）
A.15 B. C. D.
解：在中，则角所对的边最长，
三边长构成公差为4的等差数列，不防设
由余弦定理得
即
所以
答案:B
4、已知命题，命题，则命题是命题成立的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解：
故，，命题是命题成立的必要不充分条件
答案：B
5、若是等差数列,则下列数列中仍为等差数列的个数有
①， ②， ③， ④， ⑤.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D
解：为等差数列,则由其定义可知、、、仍然是等差数列.
已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示,则在下列图形中,可以是该几何体的俯视图的图形有
A.①②③⑤ B.②③④⑤ C.①②④⑤ D.①②③④
答案：D
7、不等式组的解集记为，若则 （ ）
A. B. C. D.
答案：A
作出不等式组所表示的图象知A正确.
8、设下列关系式成立的是 （ ）
A. B. C. D.
解：所以
答案:A
9、已知函数的定义域为 ,值域为，则的值不可能是
A. B. C. D.
解：可取，
答案： A
10、已知，则的大小关系为 （ ）
A． B． C． D．
解：法一:构造函数在时单调递减.又
所以即
法二:结合函数图象交点判断.
答案： A
填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11、已知终边上的一点，则= ．
答案:
12、设函数在内有定义，下列函数：； ； ；中必为奇函数的有 .
答案:（2）（4）
13、如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为1m的正方体中分离出来的.如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多能盛 体积的水.
答案:
14、已知两个向量的夹角为且，的中点为点,则的最小值
解:设
当且仅当时取等号
的最小值上的函数如果满足：对任意,存在常数,都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的界.已知函数在区间上是以3为界的有界函数，则实数的取值范围是 .
解：对区间上任意恒成立
设，记
可知在区间上递减，在区间上递增
所以最大值为－5, 最小值为1
答案：
三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16、（本小题满分12分）
已知数列等差,且数列的前项的和为,且.
求数列,的通项公式
（2） 记,求证:.
等差的公差为，又
所以
所以数列的通项公式
又当时有，所以
当时，有，所以
所以数列是以为首项，为公比的等比数列
所以
由(1)知
所以
所以
17、（本小题满分12分）
已知函数.
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)若方程有唯一解，试求实数的值．
解 (1)因为，所以切线的斜率.
又f(1)＝1，故所求的切线方程为．即.
(2)原方程等价于，
令，则原方程即为.
因为当时原方程有唯一解，所以函数与的图象在轴右侧有唯一的交点．
又，且，
所以当时，；当时，.
即在上单调递增，在(0,4)上单调递减，故在x＝4处取得最小值，且无限趋近0时，无限趋近正无穷大，无限趋近正无穷大时，也无限趋近正无穷大
从而当时原方程有唯一解的充要条件是.
,直线与函数图像相邻两交点的距离为.
（1）求的值；
（2）在中，角所对的边分别是，若点是函数图像的一个对称中心，且=3，求面积的最大值.
解：（1）
的最大值为，的最小正周期为, …………………………6分
（2）由（1）知,
因为点是函数图像的一个对称中心
，……………8分
，，
故，面积的最大值为.……………12分
19、（本小题满分13分）
等差数列的前项和，数列满足．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：
①； ②；
③；④；
⑤；⑥．
（1）求数列的通项公式，并从上述六个等式中选择一个，求实数的值；
（2）根据（1）计算结果，将同学甲的发现推广为关于任意角的三角恒等式，并证明你的结论．
解：（1）当时， …1分时， …3分时，适合此式 ∴数列的通项公式为 …5分 …6分＝
＝＝ …8分，
因此推广的三角恒等式为 …10分
=
=
=＝ …13分满足下列两个条件：
①，，②
（1）求；
（2）证明；
（3）求的通项公式及其前项和.
解：（1）由题设得，且、均为非负整数，所以的可能的值为1，2，5，10.
若，则，，与题设矛盾，
若，则，，与题设矛盾，
若，则，，，与题设矛盾，
所以
（2）用数学归纳法证明
（i）当，，等式成立
（ii）假设当（）时等式成立，即，
由题设，
∵，∴,
也就是说，当时，等式成立
根据（i）和（ii），对于所有，有
（3）由，及，，
得，，
即，
所以
21、（本小题满分13分）
已知函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求函数的最大值的表达式.
解：当时，又，所以恒成立，则，
，
当时，；当，又
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）
当
所以时，单调递增.
(i)当时，在单调递增，在上单调递增，则
（ii）当时，在单调递增，单调递减，上单调递增
函数的最大值在与中取到,因为
由>即，得，
所以当时，>，
当时，，
综上，
