成都市2015届高中毕业班第一次诊断性检测 数学试题（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，则 （A） （B） （C） （D） 2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是 （A） （B） （C） （D） 3．已知复数（是虚数单位），则下列说法正确的是 （A）复数的虚部为 （B）复数的虚部为 （C）复数的共轭复数为 （D）复数的模为 4．函数的图象大致为 （A） （B） （C） （D） 5．已知命题：“若，则”，则下列说法正确的是 （A）命题的逆命题是“若，则” （B）命题的逆命题是“若，则 ” （C）命题的否命题是“若，则” （D）命题的否命题是“若，则” 6．若关于的方程在区间上有实数根，则实数的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 7．已知是椭圆（）的左焦点，为右顶点，是椭圆上一点，轴.若，则该椭圆的离心率是 （A） （B） （C） （D） 8．已知，是两条不同直线，，是两个不同的平面，且，，则下列叙述正确的是 （A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则 9．若，，且，，则的值是 （A） （B） （C）或 （D）或 10．如图，正方体棱长为4，点上，且内作边长为1正方形是侧面内动点点到平面距离等于线段的长点运动， 的最小值是 （B） （C） （D） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．若非零向量，满足，则，的夹角的大小为__________． 12．二项式的展开式中含的项的系数是__________．（用数字作答） 13．在中，内角的对边分别为，若，，，则的面积__________． 14．已知定义在R上的奇函数，当时，．若关于的不等式的解集为，函数在上的值域为，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是__________． 15．已知曲线：（）处的切线，直线交轴，轴于点，．给出以下结论： ①；时，的最小值为； 时，；时，记数列的项和为，则． 其中，正确的结论有 （写出所有正确结论的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 口袋中装有除颜色，编号不同外，其余完全相同的2个红球，4个黑球．现从中同时取出3个球． （Ⅰ）求恰有一个黑球的概率； （Ⅱ）记取出红球的个数为随机变量，求的分布列和数学期望． 17．（本小题满分12分） 如图，为正三角形，平面，，为的中点，，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 18．（本小题满分12分） 已知数列的前项和为，且；数列满足，.． （Ⅰ）求数列，的通项公式； （Ⅱ）记，．求数列的前项和． 19．（本小题满分12分） 某大型企业一天中不同时刻的用电量（单位：万千瓦时）关于时间（，单位：小时）的函数近似地满足，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量与时间的大致图象． （Ⅰ）根据图象，求，，，的值； （Ⅱ）若某日的供电量（万千瓦时）与时间（小时）近似满足函数关系式（）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）. 参考数据: （时） 10 11 12 11.5 11.25 11.75 11.625 11.6875 （万千瓦时） 2．25 2.433 2.5 2.48 2.462 2.496 2.490 2.493 （万千瓦时） 5 3.5 2 2.75 3.125 2.375 2.563 2.469 20．（本小题满分13分） 已知椭圆：（）的右焦点为，且椭圆上一点到其两焦点的距离之和为． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设直线与椭圆交于不同两点，，且．若点满足，求的值． 21．（本小题满分14分） 已知函数，，其中且．为自然对数的底数． （Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极小值； （Ⅱ）当时，若函数存在三个零点，且，试证明： ； （Ⅲ）是否存在负数，对，，都有成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
数学（理科）参考答案及评分意见 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分） 1．A； 2．C； 3．D；4．A；5．C；6．B；7．B；8．D；9．A；10．B． 第Ⅱ卷（非选择题，共100分） 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分） 11． 12． 13． 14. 15．①③④ 三、解答题：（本大题共6个小题,共75分） 16．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）记“恰有一个黑球”为事件A，则 ．……………………………………………………………4分 （Ⅱ）的可能取值为，则 ……………………………………………………………2分 ………………………………………………………2分 ………………………………………………………………2分 ∴的分布列为 ∴的数学期望．…………………………………2分 17．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：作的中点，连结． 在中，，又据题意知，． ∴，∴四边形为平行四边形． ∴，又平面，平面． ∴平面．……………………………………4分 （Ⅱ）∵，∴平面． 在正中，，∴三线两两垂直． 分别以为轴，建系如图． 则，，． ∴，． 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则． ∴平面的一个法向量为． 又平面的一个法向量为． ∴． ∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值．…………………………8分 18.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵ 当时， 得，，即（）． 又当时，，得． ∴数列是以为首项，公比为的等比数列， ∴数列的通项公式为．………………………………………4分 又由题意知，，，即 ∴数列是首项为，公差为的等差数列， ∴数列的通项公式为．……………………………2分 （Ⅱ）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，………………………………………………1分 ∴ ④ 由④得 …………………1分 ∴…………………………………………………1分 ∴ 即 ∴ ∴数列的前项和………………………………………3分 19.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由图知，．………………………………………………………1分 ，．……………2分 ∴． 又函数过点． 代入，得，又，∴．…………………………………2分 综上，，，，． ………………………………………1分 即． （Ⅱ）令，设，则为该企业的停产时间． 由，，则． 又，则． 又，则． 又，则． 又，则．…4分 ∵． ……………………………………………1分 ∴应该在11．625时停产．……………………………………………………………1分 （也可直接由，，得出；答案在11．625—11．6875之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产） 20.（本小题满分13分） （Ⅰ）由已知得，又． ∴． ∴椭圆的方程为．…………………………………………………4分 （Ⅱ）由得 ① ………………………1分 ∵直线与椭圆交于不同两点、，∴△， 得． 设，，则，是方程①的两根， 则， ． ∴． 又由，得，解之．……………………………3分 据题意知，点为线段的中垂线与直线的交点． 设的中点为，则，， 当时， ∴此时，线段的中垂线方程为，即． 令，得．…………………………………………………………………2分 当时， ∴此时，线段的中垂线方程为，即． 令，得．………………………………………………………………2分 综上所述，的值为或． 21.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）（且）． ∴由，得；由，得，且．……………………1分 ∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是．………………2分 ∴.………………………………………………………………1分 （Ⅱ）． ∴在上单调递增，上单调递减，上单调递增． ∵函数存在三个零点． ∴． ∴…………………………………………………………………………………3分 由． ∴．……………………………………………………1分 综上可知，， 结合函数单调性及可得：． 即，得证．…………………………………………………………1分 （III）由题意，只需 ∵ 由，∴函数在上单调递减，在上单调递增． ∴．………………………………………………………………2分 ∵ 由，∴函数在上单调递增，上单调递减． ∴．……………………………………………………………2分 ∴ ，不等式两边同乘以负数，得． ∴，即． 由，解得． 综上所述，存在这样的负数满足题意．……………………………1分