福建省四地六校2015届高三上学期第三次月考试卷数学(文)
(考试时间:120分钟 总分:150分)
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.集合,则= ( )
A. B. C. D.
2.已知角的终边经过点,则 ( )
A. B. C. D.
3. 已知为虚数单位, 则复数)在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.下列函数中, 在区间上为增函数的是( )
A. B. C. D.
5.如果直线与直线互相垂直,那么=( )
A.1 B. C. D.
6. 为了得到函数的图象,则只要将的图像( )
A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
,满足,,则=( )
A.1 B.2 C.3 D.5
8.中心在坐标原点,焦点在轴上的双曲线的一条渐近线方程为 ,则该双曲线的离心率为( )
A . B. C . D.
9.程序框图如右图所示,则输出的值为( )
A.15 B.函数的图像恒过定点,若点在直线的最小值为( )
A. B. C. D.
11.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是( )
A.5 B.6
C.7 D.8
12.已知定义在R上的函数的图象关于点成中心对称图形,且满足,,,则的值为( )
A.1 B.2 C. 0 D.-2
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卷的相应位置.
13.设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 株树木的底部周长小于100cm. 14.已知函数则的值是
15.上一点,抛物线的焦点为,且,则点的纵坐标为________.
16. 若直线与曲线满足下列两个条件:直线在点处与曲线相切;曲线在点附近位于直线的两侧,则称直线在点处“切过”曲线. 下列命题正确的是__ ____(写出所有正确命题的编号)
①直线在点处“切过”曲线:
②直线在点处“切过”曲线:
③直线在点处“切过”曲线:
④直线在点处“切过”曲线:
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
在中,角,,对应的边分别为,,,且,.
(Ⅰ)求边的长度;
(Ⅱ)求的值.
18(本小题满分12分)
已知数列中,,且点在函数的图象上,数列等比数列,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若数列满足,数列的前n项和,求
19.(本小题满分12分)
根据调查,某学校开设了“街舞”、“围棋”、“武术”三个社团,三个社团参加的人数如下表所示:
社团 街舞 围棋 武术 人数 320 240 200 为调查社团开展情况,学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本,已知从“街舞”社团抽取的同学8人。
(I) 求的值和从“围棋”社团抽取的同学的人数;
(II)若从“围棋”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务,已知 “围棋”社团被抽取的同学中有2名女生,求至少有1名女同学被选为监督职务的概率。
20.(本小题满分12分)
如图,四棱锥中,为矩形,平面平面.
(Ⅰ)求证:
若问为何值时,四棱锥的体积最大最大体积:()的长半轴长为2,离心率为,左右焦点分别为,.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线与椭圆交于,两点,与以,为直径的圆交于,两点,且满足,求直线的方程.
22.,其中常数.
(Ⅰ)当时,求函数的极值点;
(Ⅱ)证明:对任意恒成立;III)对于函数图象上的不同两点,如果在函数图象上存在点(其中)使得点M处的切线∥AB,则称直线AB存在“伴侣切线”.特别地,当,又称直线AB存在“中值伴侣切线”.试问:时,对于函数图象上不同两点AB,直线AB是否存在“中值伴侣切线”证明你的结论.D B A D C A D B B C A 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.
13. 24 14. 15 .4 16 ①③
17. (本小题满分12分)
(Ⅰ)由余弦定理,得.又,,
. ………2分
………4分
(Ⅱ)在△ABC中,,……………………………6分
由正弦定理,得 .………………………………8分
因a=b>c,所以C为锐角,因此 ……………10分
于是. …………………12分
18. (本小题满分12分)
解:(1)在直线y=x+1的图象上,,即
数列{an}是以1为首项,1为公比的等比数列.
故数列的通项公式为 …………………………………………4分
数列{bn}为等比数列,设公比为q,
,b4=b1q3=8,∴,q=2.bn=2n-1(nN*).
(Ⅱ),
19.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ) …………………………………2分
从“围棋”社团抽取的同学 …………………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,从“围棋”社团抽取的同学为6人,
其中2位女生记为A,B,4位男生记为C,D,E,F ………5分
则从这6位同学中任选2人,不同的结果有
{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},
{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},
共15种. ……………………………………8分
法1:其中含有1名女生的选法为
{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},
{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},
共8种;
含有2名女生的选法只有{A,B}1种. 至少有1名女同学共9种 ……………………10分
故至少有1名女同学被选中的概率=. ………………… ……12分
法2:从这6位同学中任选2人,没有女生的有:{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},
{E,F},共6种
故至少有1名女同学被选中的概率1-=.
20.(本小题满分12分)
解:(1)面面,面面=,
面……………………………………4分
又面……………………………………5分
……………………………………6分
(2)取中点,连结,
,由(1)有面ABCD, ………………8分
设AD=.
…………………10分 ……………………11分
当即时………………………………12分
21. (本小题满分12分)
(Ⅰ)由题设知……………………2分
解得
∴ 椭圆的方程为.……………………4分
(Ⅱ)由题设,以为直径的圆的方程为,……………………5分
∴ 圆心的直线的距离,由得.(*)……………………6分
∴ .……………………7分
设由,得,……………………8分
由求根公式可得.……………………9分
∴ .……………………10分
由得, 解得,满足(*).……………11分
∴ 直线的方程为或.…………………12分
22. (本小题满分14分) (Ⅰ)当时, …1分,时
当或时,即在上单调递增……2分,当时,,在上单调递减……3分,为函数的极大值点,为函数的极小值令 所以在上递增,(当且仅当x=1时等号成立),即证对任意恒成立; (III)当,,,假设函数存在“中值伴侣切线”. 设,是曲线上的不同点,且, 则直线AB的斜率: 曲线在点处的切线斜率: 依题意:即化简得,即设 ,上式化为, 由(2)知时,恒成立.所以在内不存在,使得成立.综上所述,假设不成立.所以,函数不存在“中值伴侣切线”
A
P
(第13题)
底部周长/cm
0.030
0.025
0.020
0.015
0.010
130
120
110
90
80
100
(11题图)
(9题图)
结束
输出
是
否
开始
B
C
D
0