海珠区2014学年高三综合测试（二）
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。
,其中S为锥体的底面积，为锥体的高.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，那么集合为A．B． C．D．
2．若复数满足,则在复平面内对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．函数（）的反函数为A．（）B．（）
C．（D．（）
4．已知向量的夹角为，，且，则 A．6B．7 C．8 D．9
5．函数的一条对称轴为 A． B． C． D．
6．根据如下样本数据：
3 4 5 6 7 8 4 2 -1 1 -2 -3 得到的回归方程为，则A． B． C． D．
7．函数与在同一平面直角坐标系内的大致图象为
8．阅读如图所示的程序框图，输出的结果的值为A．0 B． C．D．
．已知椭圆与双曲线共焦点，设它们在第一象限的交点为，且，则双曲线的渐近线方程为A． B．C．D．10．若实数满足，则的最小值为A．8 B．C．2 D．
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11～13题）
11. 已知是等差数列，，，则该数列前10项和________．
12. 一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图都是边长为的等边三角形，俯视图如图所示，则这个几何体的体积为________.13．给出下列四个命题：
①函数有最小值；
②“”的一个必要不充分条件是“”；
③命题；命题．则命题“”是假命题；
④函数在点处的切线方程为.
其中正确命题的序号是________．
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，圆与直线相交所得的弦长为________.
15．（几何证明选讲选做题） 如图，⊙是的外接圆，，延长到点，使得，连结交⊙于点，连结，若,则的大小为________.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．（本小题满分12分）
在中，内角所对的边长分别是,已知，.
（1）求的值；
（2）若，为的中点，求的长.
17．（本小题满分12分）
随着社会的发展，网上购物已成为一种新型的购物方式．某商家在网上新推出四款商品，进行限时促销活动，规定每位注册会员限购一件，并需在网上完成对所购商品的质量评价．以下为四款商品销售情况的条形图和用分层抽样法选取100份评价的统计表： 好评 中评 差评 款 80% 15% 5% 款 88% 12% 0 款 80% 10% 10% 款 84% 8% 8% （1）若会员甲选择的是款商品，求甲的评价被选中的概率；
（2）在被选取的100份评价中，若商家再选取位评价为差评的会员进行电话回访，求这位中至少有一位购买的是款商品的概率.
18．（本小题满分14分）
如图所示，已知垂直以为直径的圆所在平面，点在线段上，点为圆上一点，且.
（1）求证：⊥；
（2）求点到平面的距离．
19．（本小题满分14分）
已知是首项为2，公差不为零的等差数列，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
20. （本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，动点满足直线与直线的斜率之积为，直线、与直线分别交于点、．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）求线段的最小值；
（3）以为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐标;若不经过定点，请说明理由．
21．（本小题满分14分）
函数，)．
（1）当时，求函数的值域；
（2）试讨论函数的单调性．
2014学年高三测试（二）
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查共小题，每小题5分，满分0分．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 Ｄ B Ａ Ｃ Ｃ Ａ Ｃ B B Ａ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
11. 12. 13. ③④ 14. 15.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16. 解：（1）且，∴．
∴ ………………2分
………………4分
………………5分
．
（2）由（1）可得．
由正弦定理得，即，
17. 解：（1）由条形图可得，选择四款商品的会员共有2000人，其中选A款商品的会员为400人，由分层抽样可得A款商品的评价抽取了 份．
设 “甲的评价被选中” 为事件，则． 答：若甲选择的是A款商品，甲的评价被选中的概率是.
(2) 由图表可知，选四款商品的会员分别有400,500,600,500人，用分层抽样的方法，选取评价的人数分别为20,25,30,25人，其中差评的人数分别为1,0,3, 2人，共6人．
记对款商品评价为差评的会员是；对款商品评价为差评的会员是；对款商品评价为差评的会员是．从评价为差评的会员中选出2人，共有个基本事件：，，．
设“至少有一人选择的是款商品” 为事件,事件包含有个基本事件：，由古典概率公式知．
答：至少有一人选择的是款商品的概率为．18．解：（1）由, ，知，，点为的中点．
连接．∵，∴为等边三角形，
又点为的中点，∴．
又∵平面，又平面，∴，
，平面，平面，
∴平面，又平面，∴⊥．
19．解：（1）设数列的公差为，∴，，，
由成等比数列， ∴，
即．∵，∴．
∴．
（2）由（1）知，，
∴，
，
两式相减得： ，
∴，
∴，∴．
另解：，．设=利用待定系数法,解得∴．∴
．
20. 解：（1）已知，设动点的坐标，
∴直线的斜率，直线的斜率（），
又，∴，
即．
（2）设直线的方程为的，直线的方程为的，由，得， ∴；
由，得，∴，
由，∴，
当且仅当即时，等号成立，∴线段长的最小值．
（3）设点是以为直径的圆的任意一点，则，，又，
故以为直径的圆的方程为：令，，解得，
∴以为直径的圆经过定点或．
21.解:（1）时，，
当时，，当且仅当时，最小值2．
当时，， 在上单调递增，所以．
所以时，的值域为．
（2）由，得①当时，，
当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增．
②当时，
当时，，在区间上单调递增．
当时，令，解得，舍去负值，得，
当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增．
③当时，当时，，在区间上单调递减．
当时，令得，下面讨论是否落在区间上，令，解得，令，解得，
当时，当时，，在上单调递减．
当时，在上存在极值点，
当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减．
综上所述当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上
单调递减；
当时，在上单调递减．
