甘肃省天水市秦安县第二中学2015届高三上学期第四次检测数学（理）试题
一、选择题（每小题5分，共50分）
1．设集合U={1，2，3，4，5，6}， M={1，2，4}，则∁UM=（ ）
A．U B．{1，3，5} C．{3，5，6} D．{2，4，6}
2．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为 （ ）
A. B. C. D.
3．等差数列的值为（ ）
A．20 B．－20 C．10 D．－10
4．已知 ( )
A． B． C． D．
5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )
A. B. C. D．1
6．若一条直线与一个平面成720角，则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成角中最大角等于 （ ）
A．720 B．900 C．1080 D．1800
7．已知是内的一点，且，，若，，的面积分别为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8．函数的大致图像是（ ）
9．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和?颍?又忻?龈銮颍??龊烨虻母怕适牵??霭浊虻母怕适牵?敲疵?鳇球的概率是（ ）
A. B. C. D.
10．如图所示的程序框图输出的结果是S＝720，则判断框内应填的条件是( )
A．i≤7 B．i>7 C．i≤9 D．i>9
11．椭圆M: 左右焦点分别为，，P为椭圆M上任一点且 最大值取值范围是，其中，则椭圆离心率e取值范围 （ ）
A. B. C. D.
12．给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：
①；②；③；④的定义域是R，值域是. 则其中真命题的序号是 （ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
二、填空题（每小题5分，共25分）
11．是正三角形ABC的斜二测画法的水平放置直观图，若的面积为，那么的面积为 ．
12．若是正项递增等比数列，表示其前项之积，且，则当取最小值时，的值为________．
13.设均为正数,满足,则的最小值是 .
14．已知向量与向量的夹角为，若且，则在上的投影为
15.下列四个命题：
①函数与的图像关于直线对称；
②函数的值域为，则实数的取值范围为；
③在中，“”是“”的充分不必要条件；
④数列的通项公式为，若是单调递增数列，则实数的取值范围为。
其中真命题的序号是_________
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤
16、（本小题满分12分）
已知集合，集合，函数的定义域为集合B．
（I）若，求集合；
（II）命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围．
17. (本小题满分12分)
已知的角所对的边分别是，设向量，，.
（I）若∥，求角B的大小；
（II）若，边长，求的面积的最大值．
18. (本小题满分13分)
已知等差数列的前项和为，并且，，数列满足：，，记数列的前项和为.
（I）求数列的通项公式及前项和公式；
（II）求数列的通项公式及前项和公式；
（III）记集合，若的子集个数为16，求实数的取值范围。
19．(本小题满分14分)已知函数.
（I）求的单调区间；
（II）已知数列的通项公式为，求证：（为自然对数的底数）；
（III）若，且对任意恒成立，求的最大值。
数学（理科）答案
4．A
解析：略
5. B
解析:由三视图知底面是边长为1的等腰直角三角形，三棱锥的高为2.∴V＝××1×1×2＝.
6.A
解析略
7．B
解：，
=，当且仅当时等号成立取最值
考点：向量数量积及均值不等式
点评：均值不等式求最值验证等号成立条件
8．B
解析：因为，所以函数在上单调递增，故可排除C选项；又因为时，，故可排除A选项；当时，，故此时函数的图像在直线的上方，故D错误，B正确．
考点：函数的图像．
9． C
解析：
10. B
解析：程序框图所示的运算是10×9×8×7×…，若输出结果是S＝720，则应是10×9×8＝720，所以i＝10,9,8时累乘，即当i>7时执行循环体．
13. 解析：由可化为,得,
14．解析： 因为向量与向量的夹角为，所以在上的投影为
可得集合
，
故.
（2）因为是的必要条件等价于是的充分条件，即
由，而集合应满足，
因为
故，
依题意就有：
，
即或
所以实数的取值范围是.
17. (本小题满分12分)
解析：（1）∵∥
，
（2）由得，
由均值不等式有（当且仅当时等号成立），
又,
所以,从而（当且仅当时等号成立），
于是，
即当时，的面积有最大值．
18. (本小题满分13分)
解析：（1）设数列的公差为，
由题意得，解得，∴，∴。
（2）由题意得，
叠乘得.
由题意得 ①
②
②—① 得：
∴
19．(本小题满分14分)
解析：（1）因，所以。
当时，；当时，。
所以的单调递增区间是，单调递减区间是。
（2）由（1）知，当时，，即。
因为，所以。
令，这个式子相加得
（3）令，则。
令，则，故在上单调递增，
而，，
所以存在唯一零点，即。
当时，，即；
当时，，即。
所以在上单调递减，在上单调递增，
故。
由题意有，又，，所以的最大值是3。
