高 三 数 学（理）
本试卷共5页，分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共150分，检测时间120分钟.
第I卷（选择题，共50分）
注意事项：
1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、学号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试卷上.
一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若，则
A. B.
C. D.
2.抛物线的焦点坐标为
A. B. C. D.
3.已知，命题“若，则”的否命题是
A.若 B.若
C.若 D.若
4.命题“为真”是命题“为真”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.设曲线在点处的切线方程为，则
A.0 B.1 C.2 D.3
6.设，若的最小值为
A. B.8 C. D.
7.函数的图象可能是
8.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象都经过点，则的值可以是
A. B. C. D.
9.双曲线的离心率，则以双曲线的两条渐近线与抛物线的交点为顶点的三角形的面积为
A. B.
C. D.
10.已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为b，则下列不等式成立的是
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题 共100分）
注意事项：
1.第II卷包括填空题和解答题共两个大题；
2.第II卷所有题目的答案考生需用中性笔答在答题卡指定的位置上.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上.
11.函数的定义域为__________.
12.若变量满足约束条件的最小值为，则=_________.
13.已知正方体中，点E是棱的中点，则直线AE与平面所成角的正弦值是_________.
14.已知圆O过椭圆的两焦点且关于直线对称，则圆O的方程为_______.
15.如果对定义在R上的函数，对任意两个不相等的实数都有，则称函数为“H函数”.
给出下列函数：①；②；③；④.
以上函数是“H函数”的所有序号为__________（把所有正确命题的序号都填上）.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
已知△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为，且满足
（I）求； （II）求△ABC的面积.
17.（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD,∠ABC=60°,AB=2CB=2.在梯形ACEF中，EF//AC，且平面ABCD.
（I）求证：；
（II）若二面角为45°，求CE的长.
18.（本小题满分12分）
设等差数列的前项和为.数列的前项和为，且.
（I）求数列的通项公式；
（II）设，求数列的前项和.
19.（本小题满分12分）
某市近郊有一块大约的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米.
（I）分别用表示和S的函数关系式，并给出定义域；
（II）怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值.
20.（本小题满分13分）
已知椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为.
（I）求椭圆C的方程；
（II）过椭圆右焦点斜率为的直线与椭圆C相交于E、F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线于点M，N，线段MN的中点为P，记直线的斜率为，求证：为定值.
21.（本小题满分12分）
设函数.
（I）当时，求的极值；
（II）设上单调递增，求的取值范围；
（III）当时，求的单调区间.
数学（理）参考答案及评分标准
一、选择题（每小题5分，共0分） 填空题（每小题分，共分）
1． 12． 13． 14． 15．16．（本小题满分1分）， ……………2分
即，由余弦定理得，……………4分
又, 所以；
因为，所以. …………………6分
所以
. ……………………8分
（Ⅱ）在中，由正弦定理,
得，解得， ……………………10分
所以的面积.………12分
17．（本小题满分12分）
（Ⅰ）中,，
所以,由勾股定理知所以 ． ……2分
又因为 ⊥平面，平面，所以 ．………4分
又因为 所以 ⊥平面，又平面
所以 ． ………………………6分
（Ⅱ）⊥平面，又由（），以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .
设，则,,，,，
设平面的法向量为，则 所以，令.所以. …………………9分
又平面的法向量 ……………………………10分
所以， 解得 ． ……………………11分
所以的长为． ……………………………………12分
18．（ 1分），得． ………3分
，，
，两式相减，得
数列为等比数列，． …………6分
（Ⅱ） ．
当为偶数时，
． ……………9分
当为奇数时，
． …………11分
． ………12分
19.（12分）(Ⅰ)由已知，，其定义域是.
，，
,其定义域是.
(Ⅱ) ，
当且仅当即时上述不等式等号成立
此时，，.
答设计 时，运动场地面积最大，最大值为平方米.……12分
20．（满分1分），，…………2分
所以，，所求椭圆方程为． …………………… 4分
（Ⅱ）设过点 的直线方程为：，
设点，点， …………………………………5分
将直线方程代入椭圆，
整理得： ………………………………… 6分
因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，恒成立，
且 …………………………7分
直线的方程为：，直线的方程为：
令，得点，，所以点的坐标，
……………………9分
直线 的斜率为
，……… 11分
将代入上式得：
，
所以为定值． 13
21．（本小题满分1分）的定义域为 …………………1分
当时，，∴ ………………2分
由得 随变化如下表：
[] — 0 + 减函数 极小值 增函数 故，，没有极大值. …………………………4分
（Ⅱ）由题意，，在上单调递增，
在上恒成立，
设在上恒成立， ………………………………5分
当时，恒成立，符合题意. ………………………………………6分
当时，在上单调递增，的最小值为，
得，所以, ………………………………………8分
当时，在上单调递减，不合题意,
所以 （也可以用分离变量的方法）……………………………10分
（Ⅲ）由题意，，令得，10分
若，由得；由得 …………11分
若，①当时，，或时，；
时，；
②当时，；
③当时，或,;,
…………………………13分
综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为；
当时，函数的单调递减区间为单调递增区间为．14分