岳阳县一中湘阴县一中高三月考联考试卷
数学（文）
时量：150分钟 分值：150分
命题：湘阴一中 周建山 审题：湘阴一中 舒新平、冯元
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.
1、已知集合，则( )
A． B． C． D．
2、若且，则是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
3、已知等差数列的前项和为，，则( )
A．4 B．6 C．8 D．10
4、某几何体的三视图如图所示，其中正视图和左视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于( )
A． B．
C． D．
5、已知是两个命题，则“为真命题”是“为真命题”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6、已知是周期为4的奇函数，，则( )
A． B． C． D．
7、已知向量满足，且，则与的夹角为( )
A． B． C． D．
8、已知数列满足，且，其前项和为，则满足不等式的最小整数是( )
A．11 B．12 C．13 D．14
9、记曲线与所围成的封闭区域为，若直线与 有公共点，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
10、用表示两数中的最小值，函数的图象关于直线对称，若方程恰有4个不相等的实数根，则实数的取值范围为( )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5个小题，共25分，将答案填写在题中的横线上.
11、若直线与圆相交于两点，则弦的长等于 .
12、在中，，其面积，则 .
13、底面半径为3的圆柱体水槽中有半槽水，现放入两个直径等于水槽底面圆直径的球，若水槽中的水刚好满了，则水槽的高是 .
14、若不等式对一切恒成立，则实数的最大值是 .
15、已知函数，记，且.
（1）若函数仅有2个零点，则实数的取值范围是 .
（2）若函数的零点个数为，则满足的所有的值为 .
三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16、（本小题满分12分，函数，且其图象的两条相邻对称轴之间的距离是．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)将函数图象上的每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在区间最大值和最小值本小题满分12分中，分别为的中点.
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
18、（本小题满分12分年底的木材存量为万立方米.
(Ⅰ)试写出与的关系式，并证明数列是等比数列；
(Ⅱ)问大约经过多少年，林场的木材总存量达到125万立方米？
（参考数据：）
19、（本小题满分1分.
(Ⅰ)解不等式；
(Ⅱ)当时，恒成立，求实数的取值范围.
20、（本小题满分1分，其前项和为，且满足，.
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)若数列前项和为,且满足.
问为何值时，数列为等差数列；
(Ⅲ) 求证：.
21、（本小题满分1分.
(Ⅰ)求函数的单调区间；
(Ⅱ)判断函数在区间上的零点个数.
岳阳县一中湘阴县一中高三月考联考试卷
数学（文）
时量：150分钟 分值：150分
命题：湘阴一中 周建山 审题：湘阴一中 舒新平、冯元
参考答案
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.
1、已知集合，则( B )
A． B． C． D．
2、若且，则是( C )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
3、已知等差数列的前项和为，，则( C )
A．4 B．6 C．8 D．10
4、某几何体的三视图如图所示，其中正视图和左视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于( A )
A． B．
C． D．
5、已知是两个命题，则“为真命题”是“为真命题”的( B )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6、已知是周期为4的奇函数，，则( D )
A． B． C． D．
7、已知向量满足，且，则与的夹角为( A )
A． B． C． D．
8、已知数列满足，且，其前项和为，则满足不等式的最小整数是( C )
A．11 B．12 C．13 D．14
9、记曲线与所围成的封闭区域为，若直线与 有公共点，则实数的取值范围是( B )
A． B．
C． D．
10、用表示两数中的最小值，函数的图象关于直线对称，若方程恰有4个不相等的实数根，则实数的取值范围为( D )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5个小题，共25分，将答案填写在题中的横线上.
11、若直线与圆相交于两点，则弦的长等于 .
12、在中，，其面积，则 .
13、底面半径为3的圆柱体水槽中有半槽水，现放入两个直径等于水槽底面圆直径的球，若水槽中的水刚好满了，则水槽的高是 .16
14、若不等式对一切恒成立，则实数的最大值是 .
15、已知函数，记，且.
（1）若函数仅有2个零点，则实数的取值范围是 .
（2）若函数的零点个数为，则满足的所有的值为 .2,3,4
三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16、（本小题满分12分，函数，且其图象的两条相邻对称轴之间的距离是．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)将函数图象上的每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在区间最大值和最小值 …3分
又的周期
所以，即 ………………………………………………6分
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 得
又由题意得 ………………………………………8分
因为，所以
当即时，
当即时， ………………………………12分
17、（本小题满分12分中，分别为的中点.
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
证明：(Ⅰ)如图示，连接交于点，连接
由题是的中位线
∴且
即且
∴四边形为平行四边形
∴
又平面，平面
∴平面 …………………6分
解：（Ⅱ）∵直三棱柱各棱长都相等，为的中点
∴
∴平面，又平面 ∴
由(Ⅰ) 得
又，是平面内两条相交直线
∴平面
∴是在平面上的射影
∴是与平面所成的角 ……………………………9分
设直三棱柱的棱长为
在中，
∴
∴直线与平面所成角的正弦值是 ……………………12分
18、（本小题满分12分年底的木材存量为万立方米.
(Ⅰ)试写出与的关系式，并证明数列是等比数列；
(Ⅱ)问大约经过多少年，林场的木材总存量达到125万立方米？
（参考数据：）
解：(Ⅰ)由题得
即 ……………………………………………………2分
所以
因此数列是公比为的等比数列 …………………………6分
(Ⅱ)由题
所以，即 …………………………8分
所以，即
所以
所以，大约经过9年，林场的木材总存量达到125万立方米 …………12分
19、（本小题满分1分.
(Ⅰ)解不等式；
(Ⅱ)当时，恒成立，求实数的取值范围.
解：(Ⅰ)当时
由得
所以 …………………………………………………2分
当时
由得
所以 …………………………………………………4分
综上，原不等式的解集是 ……………………………5分
(Ⅱ) 由题意得即在上恒成立
(ⅰ)当时，恒成立，所以 ………………6分
(ⅱ) 当时，原不等式变形为
设
因为当时，
所以在上单调递减
当时，
所以 ……………………………………………………………9分
(ⅲ) 当时，原不等式变形为
又
当时，
所以 …………………………………………………12分
综上所述，实数的取值范围是 ………………………13分
20、（本小题满分1分，其前项和为，且满足，.
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)若数列前项和为,且满足.
问为何值时，数列为等差数列；
(Ⅲ) 求证：.
解：(Ⅰ)由题 ①
得 ②
②①得
即 …………………………2分
因为，所以
又时，即
又，
所以 ………………………………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)及题意得
即
所以数列是以为首项，以1为公差的等差数列 ………6分
所以
即
若数列为等差数列，则，即
所以.(此时) ……………………………8分
(Ⅲ)由(Ⅰ)及题意得
………11分
所以
即 ……………………13分
21、（本小题满分1分.
(Ⅰ)求函数的单调性；
(Ⅱ)判断函数在区间上的零点个数.
解：(Ⅰ)由题得 ………………2分
当时，；当时，
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是 ……5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知函数在上单调递增，在上单调递减
所以函数在区间上最多有2个零点
而且， …………………6分
(ⅰ)若函数在区间上有2个零点
则，此不等式组无解
所以不存在，使函数在区间上有2个零点 ………8分
(ⅱ) 若函数在区间上仅有1个零点
则，解得
所以当时，函数在区间上仅有1个零点 ………10分
(ⅲ) 若函数在区间上无零点
结合(ⅱ)知，即
则，解得
所以当时，函数在区间上无零点 …………………12分
综上所述，当时，函数在区间上有1个零点
当时，函数在区间上无零点 ……………13分
